近日，北京大学工学院王建祥教授课题组与剑桥大学卡文迪许实验室冯帆博士、 北京大学工学院段慧玲教授合作，构建了球面四边形剪纸的相容性理论。该研究以“Theorem on the Compatibility of Spherical Kirigami Tessellations”为题发表于Physical Review Letters (https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.128.035501)。

图 1  基于相容性定理设计、制造的双稳态穹顶结构：(a) 闭合构型；(b) 展开构型。

剪纸科学是研究剪痕设计理论与方法的学科。按照预先设计的剪痕对平面或曲面进行分割，可以在多种尺度上实现结构的可控大幅展开。剪纸的概念被广泛应用于设计超材料、可变结构、机器人、柔性电子、医疗设备等。许多应用场景需要曲面结构，目前的做法是，在平面上设计剪痕，通过大变形贴合目标曲面。这种方法依赖于面片的细分与柔性变形，只能近似贴合曲面，限制了剪纸结构的设计方法与应用场景。直接在曲面上设计剪纸结构，有望为解决这一问题提供新思路。然而，基于非欧几何的剪纸理论还是空白。

该项研究提出并证明了球面四边形剪纸的相容性定理。相容性指的是剪纸结构的某一展开构型与未展开无应力构型之间存在分片等距变换，物理上等价于展开构型是无应力构型，即处于零应变能状态的稳定构型。定理表明，球面四边形剪纸结构最多有两个相容构型，通过合理的剪痕设计，可以得到双稳态球面四边形剪纸结构（图1）。进一步，该定理的推论表明，与球面四边形剪纸截然不同的是， 平面四边形剪纸结构可以有无数个连续的相容构型。这反映了非欧剪纸与平面剪纸的本质差别。该项工作得到了Physical Review Letters审稿人的高度评价，认为是“第一个关于非欧剪纸设计和铺展的系统方法”、“代表了领域内一个真正的新方向”。

论文的第一作者党向新同学2017年本科毕业于北京大学工学院力学系工程结构分析专业，随后进入王建祥课题组攻读博士学位。党向新同学此前提出了不同亏格平面四边形剪纸的刚性可展定理 (Physical Review E 104: 055006, 2021)，以及刚性可折平四边形折纸的逆向设计框架 (International Journal of Solids and Structures 234-235: 111224, 2022)；与英美学者合作提出了四边形折纸的刚性可折平定理 (Journal of the Mechanics and Physics of Solids 142: 104018, 2020)，与段慧玲课题组合作提出了锥状三角形折纸的双稳态理论和逆向设计框架 (Proceedings of the Royal Society A 478: 20210712, 2022)。该项研究工作得到了国家自然科学基金的资助。